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Iniziamo spiegando
cos'è epsilon ( ).
E' una lettera (greca) che viene usata per indicare un
numero piccolo, ad esempio =0,01 o ancora più
piccolo. Nella definizione di limite va messa sull'asse
delle y.
In generale la scrittura del limite
è questa: lim
x-->x0 f(x) = l.
Per capire il concetto di limite
usiamo questo esempio: lim x-->2
2x+2 = 6.
con:
x0 = 2 ; f(x) = 2x+2 ; l = 6
Graficamente si ha:
Se ora partiamo dall'asse y e in
particolare dall'intorno
e andiamo verso la funzione (verso destra) con due
frecce così ---> , poi, dalla funzione con due
frecce più lunghe andiamo verso il basso, verso l'asse x,
vediamo che si forma un intorno del numero 2 (x0=2) che
chiameremo delta 
, come si vede dal grafico.
A questo punto, poichè l'intorno
delta
di x0=2 si è formato, il limite è dimostrato
(graficamente).
Matematicamente devo dimostrare che se prendo
sull'asse y un intorno del punto 6, cioè tutti i numeri
compresi tra 6-
(6-0,01) e 6+
(6+0,01), quindi tra 5,99 e 6,01; allora sull'asse delle x
uscirà un intorno del valore 2 , ad esempio 2-0,05
(1,95) e 2+0,05 (2,05). A tal fine bisogna impostare la formula
| f(x) - l |
<
, cioè il valore assoluto |(x+2) - 6| <
cioè | x - 2| <
Per risolvere questo valore
assoluto bisogna porre in sistema:
x-2 <
, cioè: x < 2 +
, cioè x < 2,1
x-2 > -
, cioè: x > 2 -
, cioè x > 1,9
Risulta:
1,9 < x < 2,1
Siccome il limite è lim x-->2
.... effettivamente se x è compreso tra 1,9 e 2,1 allora
tende proprio a x-->2
Così si dimostra il limite.
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