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Equazioni in seno e coseno di primo grado lineari non omogenee


Per risolvere un'equazione di questo genere si usano le formule parametriche
  2t
sen = ----------
  1 + t2
  1 - t2
cos = ----------
  1 + t2
sostituendo a sen x e cos x le espressioni riportate si ottiene un'equazione di secondo grado in t (tang x/2) che e' possibile risolvere;

Vediamo un esempio: risolvere l'equazione
sen x + cos x = 1
Sostituisco
2t 1 - t2
---------- + ---------- = 1
1 + t2 1 + t2
Faccio il minimo comune multiplo
2t + 1 - t2 1 + t2
----------------- = ----------
1 + t2 1 + t2
elimino i denominatori e porto prima dell'uguale
2t + 1 - t2 - 1 - t2 = 0
-2t2 + 2t = 0
Divido per -2
t2 - t = 0
equazione di secondo grado spuria
t(t-1)=0
ho le due equazioni

  • t = 0
  • t - 1 = 0
e le due soluzioni
  • t = 0
  • t = 1
Ora sono equazioni di tipo fondamentale
  • risolvo la prima
    tang x/2 = 0
    l'angolo la cui tangente e' 0 e' 0°
    x/2 = 0° + k 180°
    quindi siccome devo trovare x
    x = 0° + k 360°

  • risolvo la seconda
    tang x/2 = 1
    l'angolo la cui tangente e' 1 e' 45°
    x/2 = 45° + k 180°
    quindi siccome devo trovare x
    x = 90° + k 360°

ho quindi le soluzioni
x = 0° + k 360°     x = 90° + k 360°


 

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